Towards the Automated Synthesis of a Gröbner Bases Algorithm

We discuss the question of whether the central result of algorithmic Gröbner bases theory, namely the notion of S–polynomials together with the algorithm for constructing Gröbner bases using S–polynomials, can be obtained by “artificial intelligence”, i.e. a systematic (algorithmic) algorithm synthesis method. We present the “lazy thinking” method for theorem and algorithm invention and apply it to the “critical pair / completion” algorithm scheme. We present a road map that demonstrates that, with this approach, the automated synthesis of the author’s Gröbner bases algorithm is possible. Still, significant technical work will be necessary to improve the current theorem provers, in particular the ones in the Theorema system, so that the road map can be transformed into a completely computerized process. Hacia la sı́ntesis automática de un algoritmo de bases de Gröbner Resumen. Se aborda la cuestión de si el resultado central de la teorı́a algorı́tmica de bases de Gröbner, es decir, la noción de S–polinomio, junto con el algoritmo de construcción de bases de Gröbner basado en S-polinomios, puede obtenerse mediante la “inteligencia artificial”, es decir, por un método sistemático de sı́ntesis algorı́tmica. En concreto, se presenta el método “lazy thinking” para la invención de teoremas y algoritmos, que se aplica al esquema algorı́tmico de “par crı́tico/completitud”. Se presenta una “hoja de ruta” que demuestra que este enfoque permite la sı́ntesis automática del algoritmo de bases de Gröbner del autor. No obstante, será necesario mejorar los actuales demostradores de teoremas y, sobre todo, los del sistema “Theorema”, para que esa “hoja de ruta” se pueda transformar en un proceso completamente computerizado, lo que aún supondrá un trabajo técnico importante.